Г. Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы

XIII. Дифференциальные уравнения

890.1. Разделение переменных. Если уравнение может быть представлено в виде $f_1\left(x\right)dx=f_2\left(y\right)dy$, то и левая и правая его части могут быть проинтегрированны.

890.2. Разделение переменных при помощи подстановки. Однородные уравнения. Если уравнение имеет вид

$f_1\left(x,y\right)dx+f_2\left(x,y\right)dy=0$,

где функции однородны по $x$ и по $y$ и притом одинаковой степени, то надо положить $y=ux$. Тогда

$\frac{dx}{x}=-\frac{f_2\left(1,u\right)du}{f_1\left(1,u\right)+u{f}_2\left(1,u\right)}$.

Если удобнее, то можно положить $x=uy$.

890.3. Разделение переменных при помощи подстановки в уравнениях вида

$f_1\left(xy\right)ydx+f_2\left(xy\right)xdy=0$,

где $f_1$ и $f_2$ — произвольные функции. Пусть $u=xy$. Тогда

$\frac{dx}{x}=\frac{f_2\left(u\right)du}{u\left\{f_1\left(u\right)-f_2\left(u\right)\right\}}$.

890.4. Уравнение вида

$\left(ax+by+c\right)dx+\left(fx+gy+h\right)dy=0$

может быть сделано однородным, если положить $x=x^{\prime }+m$ и $y=y^{\prime }+n$. Величины $m$ и $n$ могут быть найдены из системы двух совместных уравнений, которые получаются из требования однородности. Этот метод непригоден, если

$\frac{ax+by}{fx+gy}=\mathrm{const}$,

но в таком случае можно сделать подстановку $ax+by=u$ и исключить $x$ или $y$.

890.5. Уравнение в полных дифференциалах. Если для уравнения $Mdx+Ndy=0$ удовлетворено условие

$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$,

то это — уравнение в полных дифференциалах. Оно интегрируется так: находят интеграл $\int Mdx$, считая $y$ постоянным, и, добавляя неизвестную функцию $f\left(y\right)$, дифференцируют результат по $y$. Полученное выражение приравнивают $N$; из полученного уравнения определяют неизвестную функцию $f\left(y\right)$. Таким образом, решение будет иметь вид

$\int Mdx+f\left(y\right)+C=0$.

Если удобнее, то можно поменять ролями $M$ и $N$ и соответственно $x$ и $y$.

891.1. Линейные уравнения первого порядка. Дифференциальное уравнение называется линейным, если оно содержит только первую степень функции и ее производных. Линейное уравнение первого порядка имеет вид

$\frac{dy}{dx}+Py=Q$ или $dy+Pydx=Qdx$.

где $P$ и $Q$ не зависят от $y$, но могут содержать $x$. Решение такого уравнения —

$y={\mathrm{e}}^{-\int Pdx}\left[\int {\mathrm{e}}^{\int Pdx}Qdx+C\right]$.

891.2. Уравнение Бернулли. Если уравнение имеет вид

$\frac{dy}{dx}+Py=Q{y}^n$,

где $P$ и $Q$ не содержат $y$, то его можно сделать линейным при помощи подстановки $u=y^{1-n}$. Прежде чем делать эту подстановку, надо разделить уравнение на $y^n$.

892. Нелинейные уравнения первого порядка. Полагаем

$\frac{dy}{dx}=p$.

Если удается разрешить заданное уравнение относительно $p$ и проинтегрировать каждое из полученных уравнений в отдельности, то тем самым будет получено решение исходного уравнения.

893.1. Уравнения второго порядка, явно не содержащие $y$. Полагаем

$\frac{dy}{dx}=p$.

Уравнение превратится в уравнение первого порядка, содержащие $p$ и $x$. Его можно решить каким-либо из рассмотренных выше методов.

893.2. Уравнения второго порядка, явно не содержащие $x$. Полагаем

$\frac{dy}{dx}=p$.

Тогда

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$.

Получсется уравнение первого порядка, содержащее $p$ и $y$, и его можно решить каким-либо из рассмотренных выше методов.

894. Чтобы решить уравнение

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+A\frac{dy}{dx}+By=0$,

где $A$ и $B$ — постоянные, надо найти корни вспомогательного уравнения $p^2+Ap+B=0$. Если его корни $a$ и $b$ действительны и не равны между собой, то решение заданного уравнения будет $y=h{\mathrm{e}}^{ax}+k{\mathrm{e}}^{bx}$, где $h$ и $k$ — произвольные постоянные. Если его корни — комплексные величины $m+\mathrm{i}n$ и $m-\mathrm{i}n$, то

$y={\mathrm{e}}^{mx}\left(hcosnx+ksinnx\right)$.

Если оно имеет два равных корня $a$, $a$, то

$y={\mathrm{e}}^{ax}\left(hx+k\right)$.

895. Линейное однородное дифференциальное уравнение $n$-го порядка с постоянными коэффициентами

$\frac{d^{n}y}{d{x}^n}+A\frac{d^{n-1}y}{d{x}^{n-1}}+B\frac{d^{n-2}y}{d{x}^{n-2}}+\dots +Ky=0$,

Решением его будет сумма членов вида $h={\mathrm{e}}^{ax}$, где каждое $a$ есть один из различных действительных корней вспомогательного уравнения

$p^n+A{p}^{n-1}+B{p}^{n-2}+\dots +K=0$.

Если $a$ — двукратный корень вспомогательного уравнения, то соответствующий член будет ${\mathrm{e}}^{ax}\left(hx+k\right)$.

Если $a$ — трехкратный корень, то соответствующий член будет ${\mathrm{e}}^{ax}\left(h{x}^2+kx+l\right)$ и т. д.

Когда имеется пара комплексных корней $m+\mathrm{i}n$ и $m-\mathrm{i}n$, то в решении появится член

$y={\mathrm{e}}^{mx}\left(hcosnx+ksinnx\right)$.

Если это — пара двукратных корней, то соответствующий член в решении будет

$y={\mathrm{e}}^{mx}\left\{\left(hx+k\right)cosnx+\left(sx+t\right)sinnx\right\}$.

и т. д.

896. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами с правой частью

$\frac{d^{n}y}{d{x}^n}+A\frac{d^{n-1}y}{d{x}^{n-1}}+B\frac{d^{n-2}y}{d{x}^{n-2}}+\dots +Ky=X$,

где $X$ содержит $x$.

Сначала полагаем $X=0$ и решаем полученное уравнение 894 или 895. Затем нужно прибавить к этому решению частный интеграл, который удовлетворяет заданному уравнению и который не должен содержать постояных интегрирования, так как такие постоянные уже вошли в решение.

897. Уравнение Эйлера второго порядка

$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+Ax\frac{dy}{dx}+By=f\left(x\right)$

преобразуется в линейное уравнение с постоянными коэффициентами

$\frac{d^{2}y}{d{v}^2}+\left(A-1\right)\frac{dy}{dv}+By=f\left({\mathrm{e}}^v\right)$

при помощи подстановки $x={\mathrm{e}}^v$.

898. Линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка

$P\frac{\partial z}{\partial x}+Q\frac{\partial z}{\partial y}=R$.

Чтобы его решить, нужно сначала решить уравнения

$\frac{dx}{P}=\frac{dy}{Q}=\frac{dz}{R}$.

и представить решения в виде $u=C_1$, $v=C_2$. Тогда искомым решением будет

$\phi \left(u,v\right)=0$,

где $\phi$ — произвольная функция.