Г. Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы

XI. Сферические многочлены (многочлены Лежандра)

840. $P_0\left(\mu \right)=1$.
$P_1\left(\mu \right)=\mu$.
$P_2\left(\mu \right)=\frac{1}{2}\left(3{\mu }^2-1\right)$.
$P_3\left(\mu \right)=\frac{1}{2}\left(5{\mu }^3-3\mu \right)$.
$P_4\left(\mu \right)=\frac{1}{2\cdot 4}\left(5\cdot 7{\mu }^4-2\cdot 3\cdot 5{\mu }^2+1\cdot 3\right)$.
$P_5\left(\mu \right)=\frac{1}{2\cdot 4}\left(7\cdot 9{\mu }^5-2\cdot 5\cdot 7{\mu }^3+3\cdot 5\mu \right)$.
$P_6\left(\mu \right)=\frac{1}{2\cdot 4\cdot 6}\left(7\cdot 9\cdot 11{\mu }^6-3\cdot 5\cdot 7\cdot 9{\mu }^4+3\cdot 3\cdot 5\cdot 7{\mu }^2-1\cdot 3\cdot 5\right)$.
$P_7\left(\mu \right)=\frac{1}{2\cdot 4\cdot 6}\left(9\cdot 11\cdot 13{\mu }^7-3\cdot 7\cdot 9\cdot 11{\mu }^5+3\cdot 5\cdot 7\cdot 9{\mu }^3-3\cdot 5\cdot 7\mu \right)$.
…

Коэффициенты в скобках составлены их биномиальных коэффициентов, а затем других множителей.

841. $P_m\left(\mu \right)=\frac{\left(2m-1\right)\left(2m-3\right)\dots }{m!}\left[{\mu }^m-\frac{m\left(m-1\right)}{2\left(2m-1\right)}{\mu }^{m-2}+\frac{m\left(m-1\right)\left(m-2\right)\left(m-3\right)}{2\cdot 4\left(2m-1\right)\left(2m-3\right)}{\mu }^{m-4}-\dots \right]$.

При нечетном $m$ ряд кончается членом, содержащим $\mu$, а при четном $m$ — членом, не зависящим от $\mu$.

842. $\left(m+1\right)P_{m+1}\left(\mu \right)=\left(2m+1\right)\mu P_m\left(\mu \right)-m{P}_{m-1}\left(\mu \right)$.

843. $\left(m^2-1\right)P_m^{\prime }\left(\mu \right)=m\mu P_m\left(\mu \right)-m{P}_{m-1}\left(\mu \right)$.

844. Для больших значений $m$

$P_m\left(cos\theta \right)={\left(\frac{2}{m\mathrm{\pi }sin\theta }\right)}^{1⁄2}sin\left\{\left(m+\frac{1}{2}\right)\theta +\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right\}$.

844.1. $P_m\left(x\right)=\frac{1}{2^{m}m!}\frac{d^m}{d{x}^m}{\left(x^2-1\right)}^m$.

844.2. $P_m\left(1\right)=1$.

844.3. $P_{2m}\left(-x\right)=P_{2m}\left(x\right)$.

844.4. $P_{2m+1}\left(-x\right)=-P_{2m+1}\left(x\right)$.

845. Первые производные $P_m^{\prime }\left(\mu \right)=\frac{d}{d\mu }{P}_m\left(\mu \right)$.

$P_0^{\prime }\left(\mu \right)=0$.
$P_1^{\prime }\left(\mu \right)=1$.
$P_2^{\prime }\left(\mu \right)=3\mu$.
$P_3^{\prime }\left(\mu \right)=\frac{1}{2}\left(3\cdot 5{\mu }^2-1\cdot 3\right)$.
$P_4^{\prime }\left(\mu \right)=\frac{1}{2}\left(5\cdot 7{\mu }^3-3\cdot 5\mu \right)$.
$P_5^{\prime }\left(\mu \right)=\frac{1}{2\cdot 4}\left(5\cdot 7\cdot 9{\mu }^4-2\cdot 3\cdot 5\cdot 7{\mu }^2+1\cdot 3\cdot 5\right)$.
$P_6^{\prime }\left(\mu \right)=\frac{1}{2\cdot 4}\left(7\cdot 9\cdot 11{\mu }^5-2\cdot 5\cdot 7\cdot 9{\mu }^3+3\cdot 5\cdot 7\mu \right)$.
$P_7^{\prime }\left(\mu \right)=\frac{1}{2\cdot 4\cdot 6}\left(7\cdot 9\cdot 11\cdot 13{\mu }^6-3\cdot 5\cdot 7\cdot 9\cdot 11{\mu }^4+3\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9{\mu }^2-1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\right)$.

Коэффициенты в скобках составлены их биномиальных коэффициентов, а затем других множителей.