Г. Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы

V. Интегралы вероятности

585. Интеграл вероятности $\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi }}}\underset{-x}{\overset{x}{\int }}{\mathrm{e}}^{-t^2⁄2}dt=erf\frac{x}{\sqrt{2}}=x{\left(\frac{2}{\mathrm{\pi }}\right)}^{1⁄2}\left[1-\frac{x^2}{2\cdot 1!3}+\frac{x^4}{2^2\cdot 2!5}-\frac{x^6}{2^3\cdot 3!7}+\dots \right]$, $x^2<\infty$.

См. 590.

586. Для больших значений $x$ можно пользоваться следующим асимптотическим рядом:

$\frac{1}{\sqrt{2\mathrm{\pi }}}\underset{-x}{\overset{x}{\int }}{\mathrm{e}}^{-t^2⁄2}dt\approx 1-{\left(\frac{2}{\mathrm{\pi }}\right)}^{1⁄2}\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{-}{x}^2⁄2}}{x}\left[1-\frac{1}{x^2}+\frac{1\cdot 3}{x^4}-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{x^6}+\frac{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}{x^8}-\dots \right]$.

Ошибка окажется меньше последнего взятого члена.

590. Иногда интегралом вероятности называют функцию

$erfx=\frac{2}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{\mathrm{e}}^{-t^2}dt=\frac{2x}{\sqrt{\mathrm{\pi }}}\left[1-\frac{x^2}{1!3}+\frac{x^4}{2!5}-\frac{x^6}{3!7}+\dots \right]$, $x^2<\infty$.

591. $erfx\approx 1-\frac{{\mathrm{e}}^{-x^2}}{x\sqrt{\mathrm{\pi }}}\left[1-\frac{1}{2x^2}+\frac{1\cdot 3}{2^2{x}^4}-\frac{1\cdot 3\cdot 5}{2^3{x}^6}+\dots \right]$.

592. Другой вид того же ряда:

$erfx\approx 1-\frac{{\mathrm{e}}^{-x^2}}{x\sqrt{\mathrm{\pi }}}\left[1-\frac{2!}{1!{\left(2x\right)}^2}+\frac{4!}{2!{\left(2x\right)}^4}-\frac{6!}{3!{\left(2x\right)}^6}+\dots \right]$.

Ошибка оказывается меньше последнего взятого члена.