Г. Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы

IV. Показательные функции

550. ${\mathrm{e}}^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots +\frac{x^n}{n!}+\dots$, $x^2<\infty$.

550.1. $a^x={\mathrm{e}}^{xlna}=1+\frac{xlna}{1!}+\frac{{\left(xlna\right)}^2}{2!}+\frac{{\left(xlna\right)}^3}{3!}+\dots +\frac{{\left(xlna\right)}^n}{n!}+\dots$, $x^2<\infty$.

550.2. ${\mathrm{e}}^{-x}=1-\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}-\dots$, $x^2<\infty$.

551. $\frac{x}{{\mathrm{e}}^x-1}=1-\frac{x}{2}+\frac{B_1{x}^2}{2!}-\frac{B_2{x}^4}{4!}+\frac{B_3{x}^6}{6!}-\frac{B_4{x}^8}{8!}+\dots$, $x^2<4{\mathrm{\pi }}^2$.

552.1. ${\mathrm{e}}^{sinu}=1+u+\frac{u^2}{2!}-\frac{3u^4}{4!}-\frac{8u^5}{5!}-\frac{3u^6}{6!}+\frac{56u^7}{7!}+\dots$, $u^2<\infty$.

552.2. ${\mathrm{e}}^{cosu}=\mathrm{e}\left[1-\frac{u^2}{2!}+\frac{4u^4}{4!}-\frac{31u^6}{6!}+\dots \right]$, $u^2<\infty$.

552.3. ${\mathrm{e}}^{tgu}=1+u+\frac{u^2}{2!}+\frac{3u^3}{3!}+\frac{9u^4}{4!}+\frac{37u^5}{5!}+\dots$, $u^2<\frac{{\mathrm{\pi }}^2}{4}$.

552.4. ${\mathrm{e}}^{arcsinu}=1+u+\frac{u^2}{2!}+\frac{2u^3}{3!}+\frac{5u^4}{4!}+\dots$, $u^2<1$.

552.5. ${\mathrm{e}}^{arctgu}=1+u+\frac{u^2}{2!}-\frac{u^3}{3!}-\frac{7u^4}{4!}+\frac{5u^5}{5!}+\dots$, $u^2<1$.

Общий член этого ряда — $u_n=\frac{a_n{u}^n}{n!}$, где

$a_{n+1}=a_n-n\left(n-1\right)a_{n-1}$.

552.6. ${\mathrm{e}}^{-x^2}+{\mathrm{e}}^{-2^2{x}^2}+{\mathrm{e}}^{-3^2{x}^2}+\dots =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{\mathrm{\pi }}}{x}\left[\frac{1}{2}+{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{\pi }}^2⁄x^2}+{\mathrm{e}}^{-2^2{\mathrm{\pi }}^2⁄x^2}+{\mathrm{e}}^{-3^2{\mathrm{\pi }}^2⁄x^2}+\dots \right]$.

Второй ряд может сходиться быстрее первого.

553. $\underset{x\to \infty }{lim}{x}^n{\mathrm{e}}^{-x}=0$ для любого $n$.

Показательные функции — производные

563. $\frac{d{\mathrm{e}}^x}{dx}={\mathrm{e}}^x$.

563.1. $\frac{d{\mathrm{e}}^{ax}}{dx}=a{\mathrm{e}}^{ax}$.

563.2. $\frac{d{a}^x}{dx}=a^{x}lna$.

563.3. $\frac{d{a}^{cx}}{dx}=c{a}^{cx}lna$.

563.4. $\frac{d{a}^y}{dx}=a^y\left(lna\right)\frac{dy}{dx}$, где $a$ — константа.

563.5. $\frac{d{u}^y}{dx}=y{u}^{y-1}\frac{du}{dx}+u^y\left(lnu\right)\frac{dy}{dx}$.

563.6. $\frac{d{x}^y}{dx}=y{x}^{y-1}+x^y\left(lnx\right)\frac{dy}{dx}$.

563.7. $\frac{d{x}^x}{dx}=x^x\left(1+lnx\right)$.

Показательные функции — интегралы

565. $\int {\mathrm{e}}^{x}dx={\mathrm{e}}^x$.

565.1. $\int {\mathrm{e}}^{ax}dx=\frac{1}{a}{\mathrm{e}}^{ax}$.

565.2. $\int {\mathrm{e}}^{-x}dx=-{\mathrm{e}}^x$.

565.3. $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{lna}$.

566. $\int f\left({\mathrm{e}}^{ax}\right)dx=\frac{1}{a}\int \frac{f\left(z\right)dz}{z}$,

где $z={\mathrm{e}}^{ax}$. Заметим, что $a^x={\mathrm{e}}^{xlna}$ и $a^{cx}={\mathrm{e}}^{cxlna}$.

567.1. $\int x{\mathrm{e}}^{ax}dx={\mathrm{e}}^{ax}\left[\frac{x}{a}-\frac{1}{a^2}\right]$.

567.2. $\int x^2{\mathrm{e}}^{ax}dx={\mathrm{e}}^{ax}\left[\frac{x^2}{a}-\frac{2x}{a^2}+\frac{2}{a^3}\right]$.

567.3. $\int x^3{\mathrm{e}}^{ax}dx={\mathrm{e}}^{ax}\left[\frac{x^3}{a}-\frac{3x^2}{a^2}+\frac{6x}{a^3}-\frac{6}{a^4}\right]$.

567.8. $\int x^n{\mathrm{e}}^{ax}dx=\frac{x^n{\mathrm{e}}^{ax}}{a}-\frac{n}{a}\int x^{n-1}{\mathrm{e}}^{ax}dx$.

567.9. $\int x^n{\mathrm{e}}^{ax}dx={\mathrm{e}}^{ax}\left[\frac{x^n}{a}-\frac{n{x}^{n-1}}{a^2}+\frac{n\left(n-1\right)x^{n-2}}{a^3}-\dots +{\left(\mathrm{-1}\right)}^{n-1}\frac{n!x}{a^n}+{\left(\mathrm{-1}\right)}^n\frac{n!}{a^{n+1}}\right]$, $n\ge 0$.

568.1. $\int \frac{e^{ax}dx}{x}=ln∣x∣+\frac{ax}{1!}+\frac{a^2{x}^2}{2\cdot 2!}+\frac{a^3{x}^3}{3\cdot 3!}+\dots +\frac{a^n{x}^n}{n\cdot n!}+\dots$, $x^2<\infty$.

568.11. Для $\int \frac{c^{x}dx}{x}$ следует заметить, что $c^x={\mathrm{e}}^{xlnc}$.

568.2. $\int \frac{e^{ax}dx}{x^2}=-\frac{e^{ax}}{x}+a\int \frac{e^{ax}dx}{x}$.

См. 568.1.

568.3. $\int \frac{e^{ax}dx}{x^3}=-\frac{e^{ax}}{2x^2}-\frac{a{e}^{ax}}{2x}+\frac{a^2}{2}\int \frac{e^{ax}dx}{x}$.

См. 568.1.

568.8. $\int \frac{e^{ax}dx}{x^n}=-\frac{e^{ax}}{\left(n-1\right)x^{n-1}}+\frac{a}{n-1}\int \frac{e^{ax}dx}{x^{n-1}}$, $n>1$.

568.9. $\int \frac{e^{ax}dx}{x^n}=-\frac{e^{ax}}{\left(n-1\right)x^{n-1}}-\frac{a{e}^{ax}}{\left(n-1\right)\left(n-2\right)x^{n-2}}-\dots -\frac{a^{n-2}{e}^{ax}}{\left(n-1\right)!x}+\frac{a^{n-1}}{\left(n-1\right)!}\int \frac{e^{ax}dx}{x}$, $n>1$.

См. 568.1.

569. $\int \frac{dx}{1+{\mathrm{e}}^x}=x-ln\left(1+{\mathrm{e}}^x\right)=ln\frac{{\mathrm{e}}^x}{1+{\mathrm{e}}^x}$.

569.1. $\int \frac{dx}{a+b{\mathrm{e}}^{px}}=\frac{x}{a}-\frac{1}{ap}ln∣a+b{\mathrm{e}}^{px}∣$.

570. $\int \frac{x{\mathrm{e}}^{x}dx}{{\left(1+x\right)}^2}=\frac{{\mathrm{e}}^x}{1+x}$.

570.1. $\int \frac{x{\mathrm{e}}^{ax}dx}{{\left(1+ax\right)}^2}=\frac{{\mathrm{e}}^{ax}}{a^2\left(1+ax\right)}$.

575.1. $\int {\mathrm{e}}^{ax}sinxdx=\frac{{\mathrm{e}}^{ax}}{a^2+1}\left(asinx-cosx\right)$.

575.2. $\int {\mathrm{e}}^{ax}{sin}^{2}xdx=\frac{{\mathrm{e}}^{ax}}{a^2+4}\left(a{sin}^{2}x-2sinxcosx+\frac{2}{a}\right)$.

575.3. $\int {\mathrm{e}}^{ax}{sin}^{3}xdx=\frac{{\mathrm{e}}^{ax}}{a^2+9}\left[a{sin}^{3}x-3{sin}^{2}xcosx+\frac{6\left(asinx-cosx\right)}{a^2+1}\right]$.

575.9. $\int {\mathrm{e}}^{ax}{sin}^{n}xdx=\frac{{\mathrm{e}}^{ax}{sin}^{n-1}x}{a^2+n^2}\left(asinx-ncosx\right)+\frac{n\left(n-1\right)}{a^2+n^2}\int {\mathrm{e}}^{ax}{sin}^{n-2}xdx$.

576.1. $\int {\mathrm{e}}^{ax}cosxdx=\frac{{\mathrm{e}}^{ax}}{a^2+1}\left(acosx+sinx\right)$.

576.2. $\int {\mathrm{e}}^{ax}{cos}^{2}xdx=\frac{{\mathrm{e}}^{ax}}{a^2+4}\left(a{cos}^{2}x+2sinxcosx+\frac{2}{a}\right)$.

576.3. $\int {\mathrm{e}}^{ax}{cos}^{3}xdx=\frac{{\mathrm{e}}^{ax}}{a^2+9}\left[a{cos}^{3}x+3sinx{cos}^{2}x+\frac{6\left(acosx+sinx\right)}{a^2+1}\right]$.

576.9. $\int {\mathrm{e}}^{ax}{cos}^{n}xdx=\frac{{\mathrm{e}}^{ax}{cos}^{n-1}x}{a^2+n^2}\left(acosx+nsinx\right)+\frac{n\left(n-1\right)}{a^2+n^2}\int {\mathrm{e}}^{ax}{cos}^{n-2}xdx$.

577.1. $\int {\mathrm{e}}^{ax}sinnxdx=\frac{{\mathrm{e}}^{ax}}{a^2+n^2}\left(asinnx-ncosnx\right)$.

577.2. $\int {\mathrm{e}}^{ax}cosnxdx=\frac{{\mathrm{e}}^{ax}}{a^2+n^2}\left(acosnx+nsinnx\right)$.